355. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Какие из следующих векторов компланарны: а) \(\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{BB_1}\); б) \(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{B_1B},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}\); в) \(\overrightarrow{B_1B},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}\); г) \(\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{A_1B_1}\)?

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf c\). Эти три вектора некомпланарны; остальные реберные векторы выражаются через них.

а) \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}=\mathbf c\). Все три вектора параллельны, значит, компланарны.

б) Здесь присутствуют \(\mathbf a\), \(\mathbf b\) и \(-\mathbf c=\overrightarrow{B_1B}\). Эти три направления некомпланарны, поэтому вся совокупность векторов не является компланарной.

в) \(\overrightarrow{B_1B}=-\mathbf c\), \(\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b\), \(\overrightarrow{DD_1}=\mathbf c\). Все векторы лежат в плоскости, натянутой на \(\mathbf a+\mathbf b\) и \(\mathbf c\), поэтому компланарны.

г) \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{CC_1}=\mathbf c\), \(\overrightarrow{A_1B_1}=\mathbf a\). Это три некомпланарных направления.

Ответ: компланарны векторы в пунктах а) и в).