357. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Докажите, что векторы \(\overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) компланарны.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\), \(\overrightarrow{AB_1}=\mathbf p\), \(\overrightarrow{AD_1}=\mathbf q\).

В первом параллелограмме \(\overrightarrow{AC}=\mathbf u+\mathbf v\), а во втором \(\overrightarrow{AC_1}=\mathbf p+\mathbf q\). Поэтому

\(\overrightarrow{BB_1}=\mathbf p-\mathbf u\), \(\overrightarrow{DD_1}=\mathbf q-\mathbf v\), \(\overrightarrow{CC_1}=(\mathbf p+\mathbf q)-(\mathbf u+\mathbf v)=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{DD_1}\).

Значит, третий вектор выражается через первые два и лежит в плоскости, которую они задают.

Ответ: векторы компланарны.