358. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовите вектор, началом и концом которого являются вершинами параллелепипеда, равный вектору: а) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$; б) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}$; в) $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{DD_1}$; г) $\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{AB}$; д) $\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 358. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовите вектор, началом и концом которого являются вершинами…$ Фото задания

358. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовите вектор, началом и концом которого являются вершинами параллелепипеда, равный вектору: а) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$; б) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}$; в) $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{DD_1}$; г) $\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{AB}$; д) $\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Обозначим $\overrightarrow{AB}=\mathbf u$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf v$, $\overrightarrow{AA_1}=\mathbf w$. Тогда векторы, соответствующие диагоналям и ребрам, можно складывать по их координатам в базисе $(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w=\overrightarrow{AC_1}$.
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}=-\mathbf v+\mathbf u+\mathbf w-\mathbf u?$ Проверим: $\overrightarrow{DA}=-\mathbf v$, $\overrightarrow{DC}=\mathbf u$, $\overrightarrow{DD_1}=\mathbf w$. Сумма равна $\mathbf u-\mathbf v+\mathbf w=\overrightarrow{DB_1}$.
$\overrightarrow{A_1B_1}=\mathbf u$, $\overrightarrow{CC_1}=\mathbf w$, $\overrightarrow{DD_1}=\mathbf w$. Сумма $\mathbf u+2\mathbf w$ в общем случае не является вектором между двумя вершинами параллелепипеда: разность вершин имеет координаты $(\pm1,\pm1,\pm1)$ с нулями в отдельных направлениях, но не коэффициент 2. Следовательно, такого вектора между вершинами нет.
$\overrightarrow{A_1A}=-\mathbf w$, $\overrightarrow{A_1D_1}=\mathbf v$, $\overrightarrow{AB}=\mathbf u$. Сумма $\mathbf u+\mathbf v-\mathbf w=\overrightarrow{A_1C}$.
$\overrightarrow{B_1A_1}=-\mathbf u$, $\overrightarrow{BB_1}=\mathbf w$, $\overrightarrow{BC}=\mathbf v$. Сумма $-\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w=\overrightarrow{BD_1}$.

Ответ: а) $\overrightarrow{AC_1}$; б) $\overrightarrow{DB_1}$; в) такого вектора между вершинами нет; г) $\overrightarrow{A_1C}$; д) $\overrightarrow{BD_1}$.