356. Точки E и F — середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что \(2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\). Компланарны ли векторы \(\overrightarrow{FE},\ \overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{DC}\)?

Question

Вопрос:

Фото задания: 356. Точки E и F — середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что…

356. Точки E и F — середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что \(2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\). Компланарны ли векторы \(\overrightarrow{FE},\ \overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{DC}\)?

Accepted Answer

Пусть радиус-векторы вершин обозначены соответствующими строчными буквами. Так как E и F — середины указанных ребер, \(\mathbf e=(\mathbf a+\mathbf c)/2\), \(\mathbf f=(\mathbf b+\mathbf d)/2\).

Тогда \(2\overrightarrow{FE}=2(\mathbf e-\mathbf f)=\mathbf a+\mathbf c-\mathbf b-\mathbf d=(\mathbf a-\mathbf b)+(\mathbf c-\mathbf d)=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\).

Из равенства следует, что \(\overrightarrow{FE}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC})/2\). Следовательно, он является линейной комбинацией двух других векторов и лежит в их плоскости.

Ответ: векторы \(\overrightarrow{FE},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{DC}\) компланарны.