355. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. Постройте точку M прямой a так, чтобы сумма AM + MB имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы AX + XB, где X — любая точка прямой a, отличная от M.

1. Построим точку \(B'\), симметричную точке \(B\) относительно прямой \(a\).

2. Проведём прямую \(AB'\).

3. Точка пересечения прямой \(AB'\) с прямой \(a\) — искомая точка \(M\).

Так как \(M\) лежит на оси симметрии, то \(MB=MB'\). Поэтому

\(AM+MB=AM+MB'=AB'\).

Для любой другой точки \(X\) прямой \(a\) по неравенству треугольника:

\(AX+XB=AX+XB'>AB'\).

Следовательно, \(AM+MB<AX+XB\).

Ответ: \(M=AB'\cap a\), где \(B'\) — отражение точки \(B\) относительно прямой \(a\).