359. Решите неравенства: 1) $\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$; 2) $\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$; 3) $\lg(3x-4)<\lg(2x+1)$; 4) $\log_{1/2}(2x+3)>\log_{1/2}(x+1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 359. Решите неравенства: 1) $\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$; 2) $\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как основание 5 больше 1, требуется $\frac{3x-2}{x^2+1}>1$. Знаменатель положителен: $3x-2>x^2+1$, то есть $x^2-3x+3<0$. Дискриминант равен $9-12=-3<0$, а коэффициент при $x^2$ положителен, поэтому решений нет.
Числитель $2x^2+3>0$. При основании $1/2<1$ логарифм меньше нуля тогда и только тогда, когда аргумент больше 1. Следовательно, $\frac{2x^2+3}{x-7}>1$, одновременно требуется $x>7$. Получаем $2x^2+3>x-7$, или $2x^2-x+10>0$. Дискриминант равен $1-80<0$, выражение положительно при всех x. Ответ: $(7;+\infty)$.
Область определения: $3x-4>0$ и $2x+1>0$, то есть $x>\frac43$. Поскольку десятичный логарифм возрастает, $3x-4<2x+1$, откуда $x<5$. Ответ: $(\frac43;5)$.
Область определения: $x> -1.5$. Основание меньше 1, поэтому логарифм убывает; неравенство равносильно \(2x+3

359. Решите неравенства: 1) \(\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0\); 2) \(\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0\); 3) \(\lg(3x-4)<\lg(2x+1)\); 4) \(\log_{1/2}(2x+3)>\log_{1/2}(x+1)\).