37. Треугольники ABC и BAD равны, причём точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD делит отрезок AB пополам.

Из равенства треугольников ABC и BAD при соответствии вершин A ↔ B, B ↔ A, C ↔ D получаем: BC = AD, AC = BD, ∠ABC = ∠BAD и ∠BAC = ∠ABD.

1) Вычтем равные углы: ∠CBD = ∠ABC − ∠ABD, а ∠DAC = ∠BAD − ∠BAC. Поэтому ∠CBD = ∠DAC. Кроме того, BC = AD и BD = AC. Значит, треугольники CBD и DAC равны по двум сторонам и углу между ними.

Из их равенства следует, что ∠BDC = ∠ACD и BD = AC. Равенство углов означает, что BD ∥ AC. Следовательно, в четырёхугольнике ACBD противоположные стороны AC и BD параллельны и равны, поэтому ACBD — параллелограмм.

2) Диагонали параллелограмма ACBD — это AB и CD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Значит, прямая CD проходит через середину отрезка AB.

Ответ: треугольники CBD и DAC равны; CD делит AB пополам.