39. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 68).

Пусть в треугольниках ABC и A′B′C′ равны две стороны, исходящие из соответствующих вершин: AB = A′B′, AC = A′C′, а также медианы AM = A′M′, где M и M′ — середины BC и B′C′.

1. По теореме Аполлония для медианы: AB² + AC² = 2(AM² + BM²), а для второго треугольника: A′B′² + A′C′² = 2(A′M′² + B′M′²).
2. Из равенства AB = A′B′, AC = A′C′ и AM = A′M′ следует BM² = B′M′². Длины положительны, поэтому BM = B′M′.
3. Так как M и M′ — середины оснований, BC = 2BM и B′C′ = 2B′M′. Значит, BC = B′C′.
4. Получили равенство трёх соответствующих сторон, поэтому треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: треугольники равны.