40. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.

Рассмотрим треугольники ABC и A′B′C′. Пусть BC = B′C′, AM = A′M′ — медианы к этим сторонам, а соответствующие углы, образованные медианами с основаниями, равны: ∠AMB = ∠A′M′B′ и ∠AMC = ∠A′M′C′.

1. M и M′ — середины оснований. Поэтому BM = CM = BC/2, а B′M′ = C′M′ = B′C′/2. Из BC = B′C′ следует BM = B′M′ и CM = C′M′.
2. В треугольниках AMB и A′M′B′ равны две стороны AM = A′M′, BM = B′M′ и угол между ними. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = A′B′.
3. Аналогично, треугольники AMC и A′M′C′ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AC = A′C′.
4. В исходных треугольниках равны AB = A′B′, AC = A′C′ и BC = B′C′. Следовательно, они равны по трём сторонам.

Ответ: треугольники равны.