37. В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB=82, AC=36. Найдите BD.

Решение:

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом. В ромбе все стороны равны, поэтому AB = BC = CD = DA = 82.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Тогда:

• \[ AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
• \[ BO = OD = \frac{BD}{2} \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. По теореме Пифагора:

\[ AO^2 + BO^2 = AB^2 \]

\[ 18^2 + BO^2 = 82^2 \]

\[ 324 + BO^2 = 6724 \]

\[ BO^2 = 6724 - 324 \]

\[ BO^2 = 6400 \]

\[ BO = \sqrt{6400} \]

\[ BO = 80 \]

Теперь найдем длину диагонали BD:

\[ BD = 2 \times BO = 2 \times 80 = 160 \]

Ответ: 160