38. В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов и равны 70 и 24. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Диагонали равны 70 и 24. Пусть AC = 70 и BD = 24.

Тогда:

• \[ AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{70}{2} = 35 \]
• \[ BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Стороны этого треугольника — это половины диагоналей (AO и BO) и сторона ромба AB (которая является гипотенузой).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 + BO^2 = AB^2 \]

\[ 35^2 + 12^2 = AB^2 \]

\[ 1225 + 144 = AB^2 \]

\[ AB^2 = 1369 \]

\[ AB = \sqrt{1369} \]

\[ AB = 37 \]

Так как ABCD — ромб, все его стороны равны. Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон, то есть 4 * AB.

\[ Периметр = 4 \times AB = 4 \times 37 = 148 \]

Ответ: 148