37. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 3√39. Найдите sin∠ABC.

Пусть \(AB\) — гипотенуза. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\). Поэтому \(\frac{BC}{AB}=\frac{CH}{AC}=\frac{3\sqrt{39}}{20}\).

В прямоугольном треугольнике \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}\), а \(\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}\). Используем основное тригонометрическое тождество:

\(\sin\angle ABC=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt{39}}{20}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{351}{400}}=\sqrt{\frac{49}{400}}=\frac{7}{20}\).

Ответ: \(\frac{7}{20}\).