37. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, BC = 8. Найдите cos A.

Пусть \(AH=x\), \(BH=y\). По свойству высоты к гипотенузе \(CH^2=AH\cdot BH\), поэтому \(xy=16\).

Из прямоугольного треугольника \(BCH\): \(BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt3\). Тогда \(AH=\frac{16}{4\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}\).

Гипотенуза \(AB=AH+BH=\frac{16\sqrt3}{3}\). Следовательно,

\[\cos A=\frac{AC}{AB}.\]

Из свойства проекций \(AC^2=AH\cdot AB\), значит \(\cos A=\sqrt{\frac{AH}{AB}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac12\).

Ответ: \(\frac12\).