371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них: \(\angle BAC=\angle ACD\), \(\angle BCA=\angle DAC\), сторона AC — общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда \(AB=CD\) и \(BC=AD\). В выпуклом четырёхугольнике, если противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом. Значит, ABCD — параллелограмм.

б) Так как \(AB\parallel CD\), то внутренние односторонние углы при секущей AD дополняют друг друга до \(180^\circ\): \(\angle A+\angle ADC=180^\circ\). По условию \(\angle A=\angle C\), поэтому \(\angle C+\angle ADC=180^\circ\). Следовательно, \(AD\parallel BC\).

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны: \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\). Значит, ABCD — параллелограмм.