374. Укажите натуральные значения n, при которых √(n² − 75) является натуральным числом. [Правая часть условия обрезана.]

Видимая часть условия позволяет найти n, для которых корень является натуральным числом. Обозначим это число через m. Тогда n² − m² = 75, то есть (n − m)(n + m) = 75. Поскольку 75 — нечётное число, рассматриваем пары положительных множителей: (1, 75), (3, 25), (5, 15).

1. n − m = 1, n + m = 75: n = 38, m = 37.
2. n − m = 3, n + m = 25: n = 14, m = 11.
3. n − m = 5, n + m = 15: n = 10, m = 5.

Проверка: 38² − 75 = 37²; 14² − 75 = 11²; 10² − 75 = 5².

Ответ: n = 10, 14, 38.