38. Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 32^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ} \).

Биссектриса прямого угла C делит его на два угла по 45°.

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой прямого угла и биссектрисой угла A. Обозначим точку пересечения биссектрис как O.

1. Угол, образованный биссектрисой угла A и биссектрисой угла C, равен \( \angle AOC \).
2. Сумма углов в треугольнике AOC: \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \).
3. \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 32^{\circ} = 16^{\circ} \).
4. \( \angle OCA = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \).
5. \( \angle AOC = 180^{\circ} - 16^{\circ} - 45^{\circ} = 119^{\circ} \).
6. Нам нужен острый угол, образованный биссектрисами. Это угол, смежный с \( \angle AOC \), или угол, который образуется при пересечении биссектрис.
7. Угол между биссектрисами углов A и C равен \( 180^{\circ} - (16^{\circ} + 45^{\circ}) = 119^{\circ} \).
8. Если имеется в виду острый угол, то это \( 180^{\circ} - 119^{\circ} = 61^{\circ} \).
9. Другой вариант: острый угол, образованный биссектрисами углов A и B.
10. \( \angle AOB = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 58^{\circ}) = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \). Острый угол будет \( 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \).
11. Угол, образованный биссектрисами углов B и C.
12. \( \angle BOC = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 103^{\circ} = 77^{\circ} \).
13. Возможно, имеется в виду угол между биссектрисой прямого угла и биссектрисой одного из острых углов.
14. Угол между биссектрисой угла A (16°) и биссектрисой угла C (45°) является тупым (119°).
15. Угол между биссектрисой угла B (29°) и биссектрисой угла C (45°) равен \( 180^{\circ} - (29^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).
16. Переформулируем: острый угол, образованный биссектрисами этого (32°) и прямого углов (90°).
17. Пусть \( AL \) — биссектриса \( \angle A \), \( CK \) — биссектриса \( \angle C \). \( \angle LAC = 16^{\circ} \), \( \angle KCA = 45^{\circ} \).
18. В треугольнике \( AOC \), где \( O \) — точка пересечения биссектрис, \( \angle AOC = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 45^{\circ}) = 119^{\circ} \).
19. Смежный угол равен \( 180^{\circ} - 119^{\circ} = 61^{\circ} \).

Ответ: 61 градус.