39. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = \alpha \) и \( \angle B = \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Пусть \( AK \) — биссектриса угла A, \( BL \) — биссектриса угла B. Точка их пересечения — O.

В треугольнике AOB:

1. \( \angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2} \).
2. \( \angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2} \).
3. \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \).
4. \( \angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^{\circ} - \frac{90^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).
5. Острый угол между биссектрисами — это смежный угол к \( \angle AOB \), который равен \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ: 45 градусов.