380. Докажите, что при любом натуральном n значения выражений являются целыми числами: а) (10ⁿ + 7199)/9; б) (10ⁿ + 317)/3; в) (10ⁿ + 305)/15.

Пусть n — натуральное число.

1. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10ⁿ ≡ 1 (mod 9). Кроме того, 7199 ≡ 8 (mod 9). Поэтому 10ⁿ + 7199 ≡ 1 + 8 ≡ 0 (mod 9), то есть числитель делится на 9.

2. Так как 10 ≡ 1 (mod 3) и 317 ≡ 2 (mod 3), то 10ⁿ + 317 ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3). Числитель делится на 3.

3. При n ≥ 1 имеем 10ⁿ ≡ 10 (mod 15), а 305 ≡ 5 (mod 15). Следовательно, 10ⁿ + 305 ≡ 10 + 5 ≡ 0 (mod 15). Числитель делится на 15.

Ответ: все три выражения являются целыми числами.