381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса. Радиусы O₁A и O₂B равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O₁O₂ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O₁O₂ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Пусть \(X\) — точка пересечения прямых AB и O₁O₂, если они не параллельны. По рисунку радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны стержню AB, а их длины равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусами и перпендикулярами к AB. При равных радиусах и равных гипотенузах AB и O₁O₂ соответствующие катеты равны. Поэтому направление отрезка между центрами совпадает с направлением стержня либо противоположно ему; в обоих случаях их прямые параллельны. Если эти прямые имеют общую точку, они совпадают.

Ответ: AB ∥ O₁O₂ либо AB и O₁O₂ лежат на одной прямой.