386. Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно a.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной ребру угла. Получится плоский угол 120°, а центр сферы находится на его биссектрисе на расстоянии a от вершины.

Расстояние от центра до каждой стороны угла — радиус сферы. В прямоугольном треугольнике оно равно:

\(r=a\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a.\)

Радиусы, проведённые к точкам касания, образуют угол 60°: угол между сторонами угла равен 120°, поэтому угол между перпендикулярами к ним, направленными внутрь угла, равен 60°. Расстояние между точками касания — хорда:

\(d=2r\sin 30^\circ=r=\frac{\sqrt{3}}{2}a.\)

Ответ: радиус сферы и расстояние между точками касания равны \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\).