387. Радиус сферы равен 12 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Обозначим центр сферы через O, точку касания через T, а данную точку через P. Радиус OT перпендикулярен касательной плоскости, поэтому треугольник OTP прямоугольный.

По теореме Пифагора:

\(OP=\sqrt{OT^2+TP^2}=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{369}=3\sqrt{41}\) см.

Ближайшая к P точка сферы лежит на луче OP, поэтому искомое расстояние равно \(OP-r\):

\(3\sqrt{41}-12\) см.

Ответ: \(3\sqrt{41}-12\) см.