389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основаниях равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.

1. а) Если углы при одном основании равны, например ∠A = ∠D, опустим из B и C перпендикуляры на AD. Высоты этих прямоугольных треугольников равны, а острые углы при основании равны. Значит, треугольники равны, и их гипотенузы AB и CD равны. Следовательно, трапеция равнобедренная.
2. б) Пусть диагонали AC и BD равны. Опустим из B и C перпендикуляры на AD. Высоты этих треугольников равны, так как расстояние между параллельными основаниями постоянно. Прямоугольные треугольники с гипотенузами AC и BD равны по гипотенузе и катету. Поэтому равны их горизонтальные проекции, а значит, равны боковые стороны AB и CD. Трапеция равнобедренная.