4*. В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD равно диагонали. Высота BM разбивает основание AD на отрезки AM = 6 см и MD = 9 см. Найдите высоту и боковую сторону.

В равнобедренной трапеции ABCD, основание AD = AM + MD = 6 + 9 = 15 см. Так как AD равно диагонали, то AC = AD = 15 см. Высота BM разбивает основание AD на AM = 6 см и MD = 9 см. Поскольку трапеция равнобедренная, то проекция боковой стороны на основание равна (AD - BC)/2. Длина BC равна длине отрезка MD, то есть 9 см. Тогда проекция боковой стороны на основание равна (15-9)/2 = 3 см. У нас есть прямоугольный треугольник ABM, где AM = 6 см, а AB - боковая сторона. Проекция боковой стороны - это разница между AM и (AD-BC)/2. То есть, AM - 3 = 6-3=3 см, это основание для другого прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является боковая сторона AB. Высота BM - это один из катетов треугольника ABM. В этом треугольнике мы знаем, что AB = 15. Обозначим высоту BM как h. Тогда в прямоугольном треугольнике ABM: $$BM^2 + AM^2 = AB^2$$. Чтобы найти высоту BM, мы должны использовать тот факт, что трапеция равнобедренная. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна (AD-BC)/2. В нашем случае проекция боковой стороны на основание равна (15-BC)/2. А так как трапеция равнобедренная, то BC = MD = 9 см. Тогда (15-9)/2 = 3 см. Следовательно, AM = 6 см, и часть от A до проекции боковой стороны равна 3 см. Значит, в прямоугольном треугольнике ABM, где AB - гипотенуза, один катет равен 3, а другой катет - это высота BM. Нам нужно найти боковую сторону. Треугольник AMC также прямоугольный. AC=15, AM=6. MC можно найти, зная что прямоугольник BMCD, тогда BM = CD. Значит AM + MD = 15, MD=9, AM=6. Проекция боковой стороны равна 3. Значит MC = корень (15^2 - 6^2) = корень (225 - 36) = корень 189 Рассмотрим треугольник ABM. Мы знаем AM=6, MD=9. Тогда AM = (AD-BC)/2 + 3 = (15-BC)/2 +3 =6. Значит (15-BC)/2 =3, 15 - BC =6, BC = 9. Значит MD = BC = 9. Рассмотрим треугольник ABM, AM=6. Так как проекция боковой стороны на основание равна (15-9)/2 = 3, то в треугольнике ABM один из катетов равен 6-3=3. Высота BM – другой катет, AB -гипотенуза. Чтобы найти высоту, рассмотрим треугольник AMC. Мы знаем AC=AD=15, AM=6. По теореме Пифагора: $$MC^2 = AC^2 - AM^2$$ , $$MC^2= 15^2-6^2$$ = 225-36 = 189, MC = корень из 189. Проведем высоту CN из C на AD. Тогда, $$AN = (AD + BC)/2 = (15+9)/2 = 12$$. Значит AN = 12, и MD = 9. Так как AN -AM = 12-6 = 6. Значит NM = 6. $$AC^2 = CN^2 + AN^2$$ , $$15^2=CN^2+12^2$$, $$225 = CN^2 + 144$$, $$CN^2=81$$, CN =9. Значит BM=9 Найдем боковую сторону. Из треугольника ABM: $$AB^2 = BM^2 + (AM-3)^2$$. $$AB^2=9^2 + 3^2 = 81 +9= 90$$, AB = корень из 90. **Ответ:** Высота равна 9 см, а боковая сторона равна √90 см.