4.10. Решите неравенство: а) max{3x − 1; 11 − x²} > 2; б) max{x/(x − 1); (4x − x²)/2} ≥ x/3; в) max{12x − 3x²; −14x + x²} ≥ 32; г) max{1/x; 2/x²} ≥ x + 1.

Максимум двух выражений больше (или не меньше) заданной величины тогда и только тогда, когда это выполняется хотя бы для одного выражения. Учитываем область допустимых значений.

1. а) Получаем совокупность \(3x-1>2\) или \(11-x^2>2\). Первое даёт \(x>1\), второе — \(-3

   Ответ: \((-3,\infty)\).

2. б) Область определения: \(x\ne1\). Для первого выражения:

   \(\frac{x}{x-1}\geq\frac{x}{3}\iff\frac{x(4-x)}{3(x-1)}\geq0\), откуда \(x\in(-\infty,0]\cup(1,4]\).

   Для второго:

   \(\frac{4x-x^2}{2}\geq\frac{x}{3}\iff x(10-3x)\geq0\), откуда \(x\in[0,\frac{10}{3}]\). Объединяем решения, сохраняя исключение \(x=1\).

   Ответ: \((-\infty,1)\cup(1,4]\).

3. в) Первое неравенство \(12x-3x^2\geq32\) решений не имеет: квадратное уравнение \(3x^2-12x+32=0\) имеет дискриминант \(-240<0\), а исходный трёхчлен не достигает 32. Второе неравенство \(x^2-14x-32\geq0\) раскладывается как \((x+2)(x-16)\geq0\).

   Ответ: \((-\infty,-2]\cup[16,\infty)\).

4. г) Область определения: \(x\ne0\). Для первого выражения \(\frac1x\geq x+1\) даёт \(\frac{1-x-x^2}{x}\geq0\), откуда \(x\in(-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}]\cup(0,\frac{-1+\sqrt5}{2}]\). Для второго \(\frac2{x^2}\geq x+1\) равносильно \((x-1)(x^2+2x+2)\leq0\). Поскольку \(x^2+2x+2>0\), получаем \(x\leq1\), с исключением \(x=0\). Объединение:

   Ответ: \((-\infty,0)\cup(0,1]\).