4.8. Решите совокупности неравенств: а) [12x² − 4x − 1 ≤ 0; 25x² − 5x − 2 < 0]; б) [x² − 5x + 4 ≤ 0; x² + 2πx − 3π² < 0]; в) [2x² − 5x − 3 ≤ 0; −12x² + 25x + 22 < 0]; г) [12x² − (4√2 + 3√3)x + √6 ≤ 0; 8x² − (4√3 + √8)x + √6 > 0].

В каждом подпункте решаем оба неравенства и объединяем полученные множества.

1. а) Корни первого квадратного трёхчлена: \(-\frac16\) и \(\frac12\), поэтому его решение — \([-\frac16,\frac12]\). Корни второго: \(-\frac15\) и \(\frac25\); поскольку неравенство строгое, решение — \((-\frac15,\frac25)\). Их объединение:

   Ответ: \((-\frac15,\frac12]\).

2. б) \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\), откуда \(x\in[1,4]\). Также \(x^2+2\pi x-3\pi^2=(x+3\pi)(x-\pi)\), поэтому второе неравенство выполняется при \(-3\pi

   Ответ: \((-3\pi,4]\).

3. в) Корни \(2x^2-5x-3\) равны \(-\frac12\) и \(3\), поэтому решение первого неравенства — \([-\frac12,3]\). Для второго уравнение \(-12x^2+25x+22=0\) имеет корни \(-\frac23\) и \(\frac{11}{4}\); трёхчлен меньше нуля вне промежутка между корнями. Объединение:

   Ответ: \((-\infty,-\frac23)\cup[-\frac12,\infty)\).

4. г) Первый трёхчлен раскладывается так: \(12(x-\frac{\sqrt3}{4})(x-\frac{\sqrt2}{3})\). Его решение: \([\frac{\sqrt3}{4},\frac{\sqrt2}{3}]\). Второй раскладывается как \(8(x-\frac{\sqrt2}{4})(x-\frac{\sqrt3}{2})\); он положителен вне промежутка между корнями.

   Ответ: \((-\infty,\frac{\sqrt2}{4})\cup[\frac{\sqrt3}{4},\frac{\sqrt2}{3}]\cup(\frac{\sqrt3}{2},\infty)\).