4.9. Докажите, что max{f(x), g(x)} > p(x) тогда и только тогда, когда [f(x) > p(x); g(x) > p(x)].

По определению максимума число \(\max\{f(x),g(x)\}\) равно одному из двух чисел \(f(x)\) и \(g(x)\), которое больше или равно другому.

Если \(\max\{f(x),g(x)\}>p(x)\), то хотя бы одно из чисел \(f(x)\), \(g(x)\) больше \(p(x)\). И наоборот, если \(f(x)>p(x)\) или \(g(x)>p(x)\), то их максимум также больше \(p(x)\). Следовательно, условие равносильно совокупности неравенств, то есть выполнению хотя бы одного из них.