4.16. Геометрически поясните, почему должно быть верно неравенство 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/1024 (рис. 4.35).

Каждое слагаемое — площадь части единичного квадрата: сначала берётся половина квадрата, затем половина оставшейся части, далее половина следующей оставшейся части и так далее. Все эти неперекрывающиеся части вместе занимают меньше площади исходного квадрата: после конечного числа шагов внутри него остаётся незаполненная часть.

Площадь единичного квадрата равна 1, поэтому сумма площадей перечисленных частей меньше 1.

Ответ: \(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac1{1024} < 1\).