4) \(2\log_5^2 x+5\log_5 x+2=0\)

Область определения: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_5 x\). Тогда:

\(2t^2+5t+2=0\),

\((2t+1)(t+2)=0\), поэтому \(t=-\frac12\) или \(t=-2\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

1. \(\log_5 x=-\frac12\), значит, \(x=5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}\).
2. \(\log_5 x=-2\), значит, \(x=5^{-2}=\frac1{25}\).

Ответ: \(x=\frac1{\sqrt5};\ \frac1{25}\).