4. (3 б) Знайдіть область значень функцій:

Решение:

Для функції \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5} \):

Вираз під коренем повинен бути невід'ємним: \( x^2 - 5 \ge 0 \), тобто \( x^2 \ge 5 \). Це означає \( x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty) \).

Оскільки \( x^2 - 5 \) може набувати будь-яких невід'ємних значень, то \( \sqrt{x^2 - 5} \) також може набувати будь-яких невід'ємних значень. Область значень: \( [0; +\infty) \).

Для функції \( f(x) = -3x^2 + 12x - 4 \):

Це квадратична функція, графіком якої є парабола, гілки якої напрямлені вниз (оскільки коефіцієнт при \( x^2 \) від'ємний). Найбільше значення функції досягається у вершині параболи.

Координата \( x \) вершини: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2 \).

Значення функції у вершині: \( f(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 4 = -3(4) + 24 - 4 = -12 + 24 - 4 = 8 \).

Оскільки гілки параболи напрямлені вниз, область значень: \( (-\infty; 8] \).

Відповідь: Для \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5} \) область значень \( [0; +\infty) \). Для \( f(x) = -3x^2 + 12x - 4 \) область значень \( (-\infty; 8] \).