6. (3 б) Знайдіть область визначення виразу \( \sqrt{1 + x - 2x^2} \). У відповідь запишіть найбільше ціле значення з області визначення даного виразу.

Решение:

Область визначення виразу \( \sqrt{1 + x - 2x^2} \) визначається умовою, що підкореневий вираз має бути невід'ємним:

\( 1 + x - 2x^2 \ge 0 \)

Помножимо нерівність на -1, змінивши знак нерівності:

\( 2x^2 - x - 1 \le 0 \)

Знайдемо корені квадратного тричлена \( 2x^2 - x - 1 \). Використаємо формулу дискримінанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Корені: \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2(2)} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 \)

Оскільки вітки параболи \( y = 2x^2 - x - 1 \) напрямлені вгору, нерівність \( 2x^2 - x - 1 \le 0 \) виконується для \( x \) між коренями, тобто \( -0.5 \le x \le 1 \).

Це і є область визначення даного виразу.

Нас просять записати найбільше ціле значення з цієї області.

Цілі числа в інтервалі \( [-0.5; 1] \) — це \( 0 \) та \( 1 \).

Найбільше ціле значення — \( 1 \).

Відповідь: 1