4. 3p⁴ + 5q⁴ + 15 = 13p²q² теңдігі орындалатын p және q жай сандарын тап.

Егер \(p\) және \(q\) жай сандарының ешқайсысы 3-ке тең болмаса, теңдіктің екі жағын 3 модулі бойынша қарастырамыз. Жай санның квадраты мен төртінші дәрежесі 3 модулі бойынша 1-ге тең, ал теңдік \(5\equiv13\pmod3\), яғни \(2\equiv1\pmod3\) болуын талап етеді. Бұл мүмкін емес. Сондықтан \(p=3\) немесе \(q=3\).

\(p=3\,[0m\) болса, теңдеуді 3 модулі бойынша қарастырғанда \(5q^4\equiv0\pmod3\), демек \(q=3\). Бірақ \((p,q)=(3,3)\) теңдікті қанағаттандырмайды.

Ендеше \(q=3\). Орнына қойсақ: \(3p^4+405+15=117p^2\), яғни \(p^4-39p^2+140=0\). \(u=p^2\) десек, \(u^2-39u+140=0=(u-4)(u-35)\). Сондықтан \(p^2=4\) немесе \(p^2=35\). Жай сан үшін тек \(p=2\) жарайды.

Тексеру: \(3\cdot2^4+5\cdot3^4+15=48+405+15=468=13\cdot2^2\cdot3^2\).

Жауабы: \(p=2,\ q=3\).