5. Дұрыс па? (2·1999)/(1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ⋯ + 1/(1+2+3+⋯+1999)) = 2000.

Бөлімдегі әр қосындыны \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\) формуласы бойынша жазамыз. Сонда \(\frac1{1+2+\cdots+n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac1n-\frac1{n+1})\).

Осыдан бөлім телескопиялық қосынды болады:

\(1+\sum_{n=2}^{1999}2(\frac1n-\frac1{n+1})=1+2(\frac12-\frac1{2000})=\frac{1999}{1000}\).

Берілген бөлшектің мәні \(\frac{2\cdot1999}{1999/1000}=2000\).

Жауабы: иә, теңдік дұрыс.