4. (4 балла) Докажите, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=OC\).
2. Треугольники \(AOB\) и \(COB\) прямоугольные, имеют общий катет \(OB\) и равные катеты \(AO=OC\). Следовательно, они равны, откуда \(AB=BC\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Вместе с \(AB=BC\) это означает, что все четыре стороны равны.

Следовательно, ABCD — ромб.