5. (3 балла) В трапеции ABCD (AD ∥ BC) угол B равен 45°, угол C равен 90°, AD=12 см, BC=6 см. Найдите боковую сторону CD и площадь трапеции.

Поскольку \(AD\parallel BC\) и \(\angle C=90°\), сторона \(CD\) перпендикулярна обоим основаниям и является высотой трапеции.

Разность оснований равна \(AD-BC=12-6=6\) см. Угол \(B=45°\), поэтому в прямоугольном треугольнике у боковой стороны \(AB\) горизонтальный катет равен высоте: \(CD=6\) см.

Площадь: \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CD=\frac{12+6}{2}\cdot6=54\) см².

Ответ: CD = 6 см; площадь трапеции — 54 см².