4. [5 баллов] Даны точки M(−3; 2), P(−1; −2), K(2; 1), D(5; b). а) При каком значении b векторы MP и KD коллинеарны? б) При каком значении b векторы MP и KD перпендикулярны?

Сначала найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{MP}=(-1+3;-2-2)=(2;-4)\), \(\overrightarrow{KD}=(5-2;b-1)=(3;b-1)\).

а) Для коллинеарности координаты должны быть пропорциональны: \(\frac{3}{2}=\frac{b-1}{-4}\). Отсюда \(b-1=-6\), поэтому \(b=-5\).

б) Для перпендикулярности скалярное произведение равно нулю: \((2;-4)\cdot(3;b-1)=6-4(b-1)=0\). Тогда \(10-4b=0\), откуда \(b=\frac{5}{2}\).

Ответ: а) \(b=-5\); б) \(b=\frac{5}{2}\).