4.5. Вынесите множитель из-под знака корня: а) √(75t⁴r³); б) (x²/b)∛((72a⁴b³)/(343x³)); в) ∛(250x⁴y⁷); г) 3mn·⁴√((80x³)/(243m⁵n⁹)).

Выделяем полные степени с учётом индекса каждого корня. В пунктах б) и г) предполагаются ненулевые знаменатели и положительные переменные, чтобы вынесение множителей из чётного корня записывалось без модулей.

1. а) \(\sqrt{75t^4r^3}=\sqrt{25t^4r^2\cdot3r}=5t^2r\sqrt{3r}\).
2. б) \(\frac{x^2}{b}\sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}}=\frac{x^2}{b}\cdot\frac{2ab}{7x}\sqrt[3]{9a}=\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}\).
3. в) \(\sqrt[3]{250x^4y^7}=\sqrt[3]{125x^3y^6\cdot2xy}=5xy^2\sqrt[3]{2xy}\).
4. г) \(3mn\sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}=3mn\cdot\frac{2}{3mn^2}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}=\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}\).

Ответ: а) \(5t^2r\sqrt{3r}\); б) \(\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}\); в) \(5xy^2\sqrt[3]{2xy}\); г) \(\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}\).