4. а) $$\frac{4\frac{2}{7} : 6 + (3\frac{2}{9} + 1\frac{1}{6}) : \frac{1}{3}}{2\frac{7}{9} - 3 \cdot (2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{15} - 4\frac{1}{6})} = \frac{9}{11}$$

Решение:

Вычислим числитель дроби:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
• \[ 4\frac{2}{7} = \frac{4 \times 7 + 2}{7} = \frac{30}{7} \]
• \[ 3\frac{2}{9} = \frac{3 \times 9 + 2}{9} = \frac{29}{9} \]
• \[ 1\frac{1}{6} = \frac{1 \times 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} \]
2. Выполним сложение дробей в скобках:
• \[ 3\frac{2}{9} + 1\frac{1}{6} = \frac{29}{9} + \frac{7}{6} \]
• Приведем к общему знаменателю 18:
• \[ \frac{29 \times 2}{18} + \frac{7 \times 3}{18} = \frac{58 + 21}{18} = \frac{79}{18} \]
3. Выполним деление:
• \[ \frac{30}{7} : 6 = \frac{30}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} \]
• \[ \frac{79}{18} : \frac{1}{3} = \frac{79}{18} \times 3 = \frac{79 \times 3}{18} = \frac{79}{6} \]
4. Выполним сложение результатов:
• \[ \frac{5}{7} + \frac{79}{6} \]
• Приведем к общему знаменателю 42:
• \[ \frac{5 \times 6}{42} + \frac{79 \times 7}{42} = \frac{30 + 553}{42} = \frac{583}{42} \]

Вычислим знаменатель дроби:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
• \[ 2\frac{7}{9} = \frac{2 \times 9 + 7}{9} = \frac{25}{9} \]
• \[ 2\frac{1}{5} = \frac{2 \times 5 + 1}{5} = \frac{11}{5} \]
• \[ 3\frac{2}{15} = \frac{3 \times 15 + 2}{15} = \frac{47}{15} \]
• \[ 4\frac{1}{6} = \frac{4 \times 6 + 1}{6} = \frac{25}{6} \]
2. Выполним действия в скобках:
• \[ 2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{15} = \frac{11}{5} + \frac{47}{15} = \frac{11 \times 3}{15} + \frac{47}{15} = \frac{33+47}{15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \]
• \[ \frac{16}{3} - 4\frac{1}{6} = \frac{16}{3} - \frac{25}{6} = \frac{16 \times 2}{6} - \frac{25}{6} = \frac{32 - 25}{6} = \frac{7}{6} \]
3. Выполним умножение и вычитание:
• \[ 3 \times \frac{7}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \]
• \[ \frac{25}{9} - \frac{7}{2} \]
• Приведем к общему знаменателю 18:
• \[ \frac{25 \times 2}{18} - \frac{7 \times 9}{18} = \frac{50 - 63}{18} = -\frac{13}{18} \]

Соберем всю дробь:

\[ \frac{\frac{583}{42}}{-\frac{13}{18}} = \frac{583}{42} \times (-\frac{18}{13}) = -\frac{583 \times 18}{42 \times 13} \]

Сократим 18 и 42 на 6:

\[ -\frac{583 \times 3}{7 \times 13} = -\frac{1749}{91} \]

Проверим, делится ли 1749 на 91. $$1749 / 91 = 19.219...$$.

Проверим числитель: $$30/7 : 6 = 5/7$$. $$3\frac{2}{9} + 1\frac{1}{6} = \frac{29}{9} + \frac{7}{6} = \frac{58+21}{18} = \frac{79}{18}$$. $$\frac{79}{18} : \frac{1}{3} = \frac{79}{18} \times 3 = \frac{79}{6}$$. $$\frac{5}{7} + \frac{79}{6} = \frac{30+553}{42} = \frac{583}{42}$$.

Проверим знаменатель: $$2\frac{7}{9} - 3 \times (2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{15} - 4\frac{1}{6})$$. $$2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{15} = \frac{11}{5} + \frac{47}{15} = \frac{33+47}{15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$$. $$\frac{16}{3} - 4\frac{1}{6} = \frac{16}{3} - \frac{25}{6} = \frac{32-25}{6} = \frac{7}{6}$$. $$3 \times \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$$. $$2\frac{7}{9} - \frac{7}{2} = \frac{25}{9} - \frac{7}{2} = \frac{50-63}{18} = -\frac{13}{18}$$.

$$\frac{583/42}{-13/18} = \frac{583}{42} \times \frac{-18}{13} = -\frac{583 \times 3}{7 \times 13} = -\frac{1749}{91}$$.

В задании сказано, что результат равен $$\frac{9}{11}$$. Есть ошибка в условии или в моих расчетах.

Проверим расчеты еще раз.

Числитель: $$\frac{583}{42}$$

Знаменатель: $$-\frac{13}{18}$$

Дробь: $$\frac{583}{42} : (-\frac{13}{18}) = \frac{583}{42} \times (-\frac{18}{13}) = -\frac{583 \times 3}{7 \times 13} = -\frac{1749}{91}$$.

Возможно, в условии опечатка.

Если бы в числителе было $$\frac{9}{11}$$, то:

$$\frac{583}{42} : X = \frac{9}{11}$$

$$X = \frac{583}{42} : \frac{9}{11} = \frac{583}{42} \times \frac{11}{9} = \frac{6413}{378} \approx 16.96$$.

Если бы в знаменателе было $$\frac{9}{11}$$, то:

$$Y : (-\frac{13}{18}) = \frac{9}{11}$$

$$Y = \frac{9}{11} \times (-\frac{13}{18}) = -\frac{1}{11} \times \frac{13}{2} = -\frac{13}{22}$$.

Поскольку условие задачи дано с конкретным результатом, будем искать ошибку в расчетах.

Пересчитаем знаменатель:

$$2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{15} - 4\frac{1}{6} = \frac{11}{5} + \frac{47}{15} - \frac{25}{6} = \frac{33+47}{15} - \frac{25}{6} = \frac{80}{15} - \frac{25}{6} = \frac{16}{3} - \frac{25}{6} = \frac{32-25}{6} = \frac{7}{6}$$.

$$2\frac{7}{9} - 3 \cdot \frac{7}{6} = \frac{25}{9} - \frac{21}{6} = \frac{25}{9} - \frac{7}{2} = \frac{50 - 63}{18} = -\frac{13}{18}$$.

Числитель: $$\frac{583}{42}$$.

Знаменатель: $$-\frac{13}{18}$$.

Результат: $$\frac{583}{42} / (-\frac{13}{18}) = \frac{583}{42} \times (-\frac{18}{13}) = -\frac{583 \times 3}{7 \times 13} = -\frac{1749}{91}$$.

Есть вероятность, что в условии задачи допущена ошибка, так как полученный результат не соответствует указанному.

Ответ: Расчеты показывают, что значение выражения равно -1749/91, что не совпадает с 9/11. Возможно, в условии задачи опечатка.