4. ABCD — параллелограмм, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\{4;2\}\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\{-2;6\}\). M — середина BC, N — середина CD. а) Выразить \(\overrightarrow{AM}\) через \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Найти координаты \(\overrightarrow{AM}\). в) Найти координаты \(\overrightarrow{AN}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\), поэтому от A до середины BC проходит \(\overrightarrow{AB}\) и половина \(\overrightarrow{BC}\):

а) \(\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b\).

б) \(\overrightarrow{AM}=\{4;2\}+\frac12\{-2;6\}=\{4;2\}+\{-1;3\}=\{3;5\}\).

Для N: \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), а \(\overrightarrow{CN}=-\frac12\vec a\), так как \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\) и N — середина CD. Значит, \(\overrightarrow{AN}=\frac12\vec a+\vec b\).

в) \(\overrightarrow{AN}=\frac12\{4;2\}+\{-2;6\}=\{2;1\}+\{-2;6\}=\{0;7\}\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b\); б) \(\{3;5\}\); в) \(\{0;7\}\).