4. ABCD — прямоугольник. Точка E лежит на BC, AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти: AD.

Рассмотрим треугольник AED. Так как ABCD — прямоугольник, высота из точки E к стороне AD равна \(AB=4\) см.

Обозначим \(\angle EDA=\alpha\). В прямоугольном треугольнике, образованном отрезком ED и высотой 4 см:

\(\sin\alpha=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\), поэтому \(\alpha\approx41.81^\circ\).

Тогда третий угол треугольника AED равен:

\(\angle EAD=180^\circ-75^\circ-41.81^\circ\approx63.19^\circ\).

По теореме синусов:

\[\frac{AD}{\sin75^\circ}=\frac{ED}{\sin63.19^\circ}.\]

\[AD=\frac{6\sin75^\circ}{\sin63.19^\circ}\approx6.5\text{ см}.\]

Ответ: \(AD\approx6.5\) см.