4. ∠AD = 48°, ∠BC = 52° (рис. 4). Найдите угол BKD.

Объяснение:

• Угол BKD является углом пересечения двух хорд AC и BD.
• Формула для нахождения угла пересечения двух хорд: угол равен полусумме дуг, высекаемых этими хордами на окружности.
• В данном случае, угол BKD = (дуга BD + дуга AC) / 2.
• Из рисунка видно, что дуга AD = 48° и дуга BC = 52°.
• Угол BKD опирается на дуги BD и AC.
• Мы знаем дуги AD и BC. Дуга BD = дуга BC + дуга CD. Дуга AC = дуга AD + дуга DC.
• Нам нужны дуги AC и BD.
• Угол ∠CAD = 48°/2 = 24° (опирается на дугу CD).
• Угол ∠ABD = 52°/2 = 26° (опирается на дугу AD).
• Угол ∠ACB = 48°/2 = 24° (опирается на дугу AB).
• Угол ∠BAC = 52°/2 = 26° (опирается на дугу BC).
• Сумма углов треугольника AKB: ∠AKB = 180° - ∠KAB - ∠KBA.
• ∠KAB = ∠CAB = 26°. ∠KBA = ∠DBA = 26°.
• ∠AKB = 180° - 26° - 26° = 128°.
• Угол BKD и угол AKB — смежные.
• ∠BKD = 180° - ∠AKB = 180° - 128° = 52°.
• Альтернативный подход:
• Угол BKD является углом пересечения хорд AC и BD.
• Угол BKD = (дуга BD + дуга AC) / 2.
• Дуга AD = 48°, дуга BC = 52°.
• Угол BKD = (дуга AB + дуга CD) / 2.
• Угол BKA = (дуга BA + дуга CD) / 2.
• Угол BKD = (дуга BD + дуга AC) / 2.
• Угол CAD = 48°/2 = 24°. Угол ACB = 48°/2 = 24°.
• Угол BAC = 52°/2 = 26°. Угол ABD = 52°/2 = 26°.
• В треугольнике AKB: ∠AKB = 180° - (∠KAB + ∠KBA) = 180° - (∠CAB + ∠ABD) = 180° - (26° + 26°) = 180° - 52° = 128°.
• Угол BKD является смежным с углом AKB.
• ∠BKD = 180° - ∠AKB = 180° - 128° = 52°.

Ответ: 52°