(4 балла) Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором диагонали AC и BD равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — их общая сторона.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны: BC=AD.
3. По условию диагонали равны: AC=BD.
4. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Поэтому \(\angle ABC=\angle BAD\).
5. Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°. Равные соседние углы, сумма которых 180°, каждый равны 90°.

Значит, параллелограмм имеет прямой угол и является прямоугольником.