4. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=9, BF=12.

Дано:
Трапеция ABCD
AF - биссектриса угла A
BF - биссектриса угла B
F - точка пересечения биссектрис
AF = 9
BF = 12
Найти: AB

Решение:
1. Так как AF - биссектриса угла A, то ∠BAF = ∠DAF. Также, так как BF биссектриса ∠B, то ∠ABF=∠CBF.
2. ∠FAB + ∠ABF = 0.5*∠A+0.5*∠B. ∠A +∠B=180, так как это углы односторонние при параллельных прямых. Значит ∠FAB+∠ABF =90.
3. Треугольник ABF - прямоугольный, с прямым углом при точке F.
4. По теореме Пифагора, AB^2=AF^2+BF^2 = 9^2+12^2=81+144=225. AB= √225=15.

Ответ: AB = 15