5. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Дано:
Треугольник ABC вписан в окружность
Длины дуг относятся как 3:4:11
Меньшая сторона треугольника равна 14
Найти: Радиус окружности R

Решение:
1. Пусть длины дуг равны 3x, 4x и 11x. Полная длина окружности равна сумме всех дуг, то есть 3x + 4x + 11x = 18x.
2. Общая длина дуги составляет 2πR.
3. Значит 18x = 2πR, откуда x = (2πR)/18 = (πR)/9
4. Углы треугольника вписанные, опираются на эти дуги. Меньший угол опирается на наименьшую дугу. Угол равен половине градусной меры дуги.
5. Меньшая дуга равна 3x, а градусная мера этой дуги равна (3x/(2πR))*360. Значит меньший угол равен половине дуги: (3x/(2πR))*180 = (3*((πR)/9)/(2πR))*180=(3/18)*180=30.
6. Меньшая сторона треугольника лежит напротив меньшего угла. Значит меньший угол треугольника равен 30 градусов.
7. По теореме синусов a/sinA = 2R. Известно, что наименьшая сторона равна 14.
8. Значит 14/sin30=2R. 14/0.5=2R. 28=2R. R=14.

Ответ: Радиус окружности равен 14.