№4. Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Доказать: AN = NC.

Так как M — середина AB, то AM = MB. Проведём через C прямую, параллельную AB; она пересечёт прямую MN в точке D. Поскольку MN ∥ BC, четырёхугольник MBCD — параллелограмм, поэтому MB = CD и MC = BD.

Из AM = MB и MB = CD следует AM = CD. Углы ∠AMN и ∠CDN равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей MN. Углы ∠ANM и ∠CND равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AMN и CDN равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AN = NC.