Дано: AB = BC, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁. Доказать: A₁B₁ = B₁C₁. Заполнить пропуски в доказательстве теоремы Фалеса.

Проведём AK ∥ A₁C₁, BM ∥ A₁C₁. Так как две параллельные прямые, параллельные между собой, то AK ∥ BM.

△ABK = △BCM по второму признаку равенства треугольников: AB = BC по условию, ∠BAK = ∠CBM как накрест лежащие углы при AK ∥ BM и секущей AC, ∠ABK = ∠BCM как накрест лежащие углы при параллельных прямых AK и BM и секущей BC.

Из равенства треугольников следует, что AK = BM. Так как четырёхугольники AA₁BK и BB₁CM — параллелограммы (их противоположные стороны попарно параллельны), то A₁B₁ = AK, B₁C₁ = BM. Значит, A₁B₁ = B₁C₁.

В теореме Фалеса отложенных равных отрезков может быть два, три и более. Теорема справедлива не только для сторон угла, но и для произвольных прямых.