4. Число 5 является корнем уравнения 4x² + 6x + k = 0. Найдите второй корень уравнения и значение k.

По условию, \(x = 5\) является корнем уравнения \(4x^2 + 6x + k = 0\). Подставим значение \(x\) в уравнение:

\(4(5)^2 + 6(5) + k = 0\)
\(4(25) + 30 + k = 0\)
\(100 + 30 + k = 0\)
\(130 + k = 0\)
\(k = -130\)

Теперь уравнение имеет вид: \(4x^2 + 6x - 130 = 0\).

Найдем второй корень, используя теорему Виета:

Пусть \(x_1 = 5\), тогда \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) и \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
\(5 \cdot x_2 = \frac{-130}{4}\)
\(5 x_2 = -32.5\)
\(x_2 = -6.5\) или \(x_2 = -\frac{13}{2}\)

Проверим:
\(5 + x_2 = -\frac{6}{4}\)
\(x_2 = -\frac{6}{4} - 5 = -1.5 - 5 = -6.5\)

Ответ: Второй корень равен -6.5 или -\(\frac{13}{2}\), k = -130.