4. Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, высота CH, AH − HB = 5 см, CH = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим \(AH=x\), \(HB=y\). Для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, выполняется \(CH^2=AH\cdot HB\). Поэтому \(xy=36\), а по условию \(x-y=5\).

Подставим \(x=y+5\): \(y(y+5)=36\), то есть \(y^2+5y-36=0\). Положительный корень — \(y=4\), значит \(x=9\). Тогда \(AB=AH+HB=13\) см.

Площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту к ней:

\(S=\frac12\cdot13\cdot6=39\) см².

Ответ: 39 см².