4. Дан треугольник ABC и плоскость α, параллельная прямой AB. Через вершины A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁ и B₁. Докажите, что A₁B₁ = AB.

Обозначим через d направление параллельных прямых AA₁ и BB₁. Так как эти прямые пересекают плоскость α, направление d не параллельно плоскости α.

Векторы AB и A₁B₁ параллельны плоскости α: первый — по условию, второй — поскольку его концы лежат в α. При этом переход от AB к A₁B₁ изменяет вектор только на величину, параллельную d: \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}+t\,\vec d\) для некоторого числа t. Разность этих двух векторов параллельна α, но также параллельна d. Поскольку d не параллельно α, эта разность равна нулю. Значит, \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}\), откуда \(A_1B_1=AB\).

Что и требовалось доказать.