5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P — середина A₁B₁, точка Q — середина B₁C₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, Q и вершину D. Определите вид полученного многоугольника.

Обозначим через E точку пересечения секущей плоскости с ребром AA₁, а через F — точку её пересечения с ребром CC₁. Тогда граница сечения проходит по отрезкам PQ, QF, FD, DE и EP.

Для проверки положения точек зададим куб координатами: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), а верхние вершины имеют координату z = 1. Тогда P(0.5,0,1), Q(1,0.5,1), D(0,1,0). Плоскость через P, Q и D задаётся уравнением \(-2x+2y+3z-2=0\). На ребре AA₁ она пересекает точку E\(0,0, \frac{2}{3}\), а на CC₁ — точку F\(1,1, \frac{2}{3}\).

Следовательно, сечение — пятиугольник P-Q-F-D-E.