4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (ZA = 90°), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции.

Дано: Прямоугольная трапеция ABCD, ∠A = 90°. Вписана окружность радиусом r = 12 см. CD = 38 см.

Найти: Среднюю линию трапеции.

Решение:

1. Свойство вписанной окружности в трапецию: В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон. Для прямоугольной трапеции с прямым углом A, AD является высотой.
2. Высота трапеции: Высота вписанной окружности равна ее диаметру. Значит, высота трапеции h = AD = 2 * r = 2 * 12 см = 24 см.
3. Находим BC: Так как окружность вписана, то сумма боковых сторон равна сумме оснований: AB + CD = AD + BC.
4. Находим AB: В прямоугольной трапеции AB = AD = 24 см (так как ABCD - прямоугольная трапеция и AD - высота).
5. Находим BC: AB + CD = AD + BC. 24 + 38 = 24 + BC. BC = 38 см.
6. Средняя линия трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (AB + CD) / 2.
7. Расчет средней линии: m = (24 + 38) / 2 = 62 / 2 = 31 см.

Ответ: 31 см